Ecuaciones Diferenciales: Ecuacion de riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:
$\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)$
Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos $y_1(x)\,\!$ .
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
$y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!$
y reemplazando, se obtiene:
$\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}$
es decir:
$-p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)$
$\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)$
lo que equivale a:
$\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)$
$\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2$
que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
$y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)}$ ,
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

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viernes, 2 de diciembre de 2011

Ecuacion de riccati

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