Ecuaciones de Laplace

En cálculo vectorial, la ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico, que recibe ese nombre en honor al físico y matemático Pierre-Simon Laplace.
Introducida por las necesidades de la mecánica newtoniana, la ecuación de Laplace aparece en muchas otras ramas de la física teórica como la astronomía, la electrostática, la mecánica de fluidos o la mecánica cuántica.

En tres dimensiones, el problema consiste en hallar funciones reales doblemente diferenciables, una función de variables reales x, y, y z, tal que
En coordenadas cartesianas

En coordenadas cilíndricas,

En coordenadas esféricas,

Muchas veces se escribe de la siguiente manera:

donde es el operador de Laplace o "laplaciano"
que también se escribe como:

donde es la divergencia, y es el gradiente
o sino, algunas veces la notación puede ser:

donde Δ también es el operador de Laplace.
Las soluciones de la ecuación de Laplace se denominan funciones armónicas.
Si del lado derecho de la igualdad se especifica una función, f(x, y, z), es decir, si la ecuación se escribe como:

entonces se tiene la "ecuación de Poisson", por lo que la ecuación de Laplace es un caso particular de esta. La ecuación de Laplace también es un caso particular de la ecuación de Helmholtz.
La ecuación de Laplace, así como también la ecuación de Poisson, son los ejemplos más simples de ecuaciones en derivadas parciales elípticas.

Tlabla de la transformada de Laplace