Ecuaciones de Schrodinger

La ecuación de Schrödinger, en su forma más general, indica la variación que sufre un estado física, a lo largo del tiempo, cuando el sistema que describe se encuentra sometido a un hamiltoniano de la forma . En estas condiciones, la ecuación de Schrödinger se escribe de la forma

En la mayor parte de las ocasiones, el hamiltoniano puede escribirse como suma de los operadores de energía cinética y de energía potencial. Además, normalmente se puede descomponer el operador de energía cinética como la suma de la energía cinética de cada partícula, que suele poderse escribir en función del momento lineal (de igual forma que en mecánica cuántica),

Es también común escribir la ecuación de Schrödinger en base de posiciones. En esta base, se define la función de onda , que está relacionada con la probabilidad de que en el tiempo se encuentre la primera partícula en la posición , la segunda en , etc. Además, el operador momento se puede escribir como una derivada espacial, es decir . Así, pues, la ecuación de Schrödinger toma la forma de una ecuación diferencial en derivadas parciales

La forma en que Erwin Schrödinger derivó su ecuación, partiendo de una analogía entre las ecuaciones de Hamilton-Jacobi y la óptica geométrica, es la versión para una sola partícula, que se escribe de la forma




Para el caso tridimensional se puede escribir así:

Una clase importante de problemas, son aquellos para los cuales es constante.
Este tipo de problemas se llaman de estado estacionario, la densidad de probabilidad no depende del tiempo.
Esto implica que

Para lo cual, se puede plantear:

(con E constante)
En efecto:



Con lo cual, la ecuación de Schrodinger para el estado estacionario, es la siguiente:

No debemos olvidar que la solución será independiente del tiempo, pues se trata de estados estacionarios.
Así que la solución buscada será solo función de la posición, y no del tiempo.