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viernes, 2 de diciembre de 2011

Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:
x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
Desarrollando y en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:
a_{k+1} = \frac{k-n}{(k+1)^2}a_k,\ \ k=0,1,2,...; \ \ \ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\,
Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0.

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:
L_n(x) = (1/(n!))e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})
Que tras desarrollar queda de la forma:
L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^n {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!n!}{(n-k)!k!k!} x^k
algunos de estos polinomios son:
n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 (1/2)(x^2-4x+2) \,
3 (1/6)(-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 (1/24)(x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 (1/120)(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 (1/720)(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:
L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt
Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.
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