En
matemáticas al resolver la formula de Rodrigues, las
Funciones de Legendre son las soluciones a las
Ecuaciones Diferenciales de Legendre:
![{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_ttJkbVRd4s097P6_Oes-7B8vgYa7SmKX9BT4UIgb-4QYoFYonsHCPR-hVhKn_z5TAuVyki2zIPQUa4lG9yas2smApxnwkMwOcG0F-IumWGXYzKg6xY1MGYfEFjaCzviH0c_2DSe_Sb7FHu67PTW0gxGVlosaFgiyvvtg=s0-d)
llamadas así por el matemático francés
Adrien-Marie Legendre. Estas
ecuaciones se encuentran frecuentemente en
Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la
ecuación de Laplace (un tipo de
ecuación en derivadas parciales) en
coordenadas esféricas mediante el método de
separación de variables.
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de
serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |
x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de
polinomios ortogonales llamados
Polinomios de Legendre.
Cada polinomio de Legendre P
n(
x) es un polinomio de grado
n. Éste puede ser expresado usando la
Fórmula de Rodrigues:
![P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vA0zREv_yciwiIXSD4ww64hL8vVhO_JS7D1AvaHLl597WQMVBQpolLOx1nOQxJSrrTgIm4A5OcMVmzAHj80Iw2BsQuZCxlhz9odw7nzZQnu7L5JjJq2TDYt2KN7K3lwTiJ81nZCLeG6NzpUk96CngX1YJLG5ae21KdqvA=s0-d)
Desarrollando la fórmula de Rodrigues se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre
-
esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aperecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo.
Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son
ortogonales con respecto al
producto escalar definido en L
2 en el intervalo −1 ≤
x ≤ 1:
(donde δ
mn denota la
delta de Kronecker, igual a 1 si
m =
n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo
procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1,
x,
x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un
problema de Sturm-Lioville
![{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] = -\lambda P(x),](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vnsCXc3By_A_vV252CgW6m87i84tIdo4m0526JNf6M6V-P930dsBVzjjFWNdKJ7z7OlKumjEbbn5uvoHMxlSwf0MewZtPCI7QOwwcXuyUEXJPNzrGnA_6pdql2XyTfZG6addyY-H7PDeONK37bvbCJkTcQ-4NApBPYgA=s0-d)
donde los valores propios λ corresponden a
n(
n+1).
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