Ecuaciones Diferenciales: Polinomios de Chebyshev

En matemática se conoce como polinomios de Chebyshev, en honor a Pafnuty Chebyshev, a una sucesión de polinomios ortogonales que están relacionados a la fórmula de De Moivre y que se definen recursivamente con sencillez, como los números de Fibonacci o los de Lucas. Normalmente se distingue entre los polinomios de Chebyshev de primer tipo que se indica como T_n y los polinomios de Chebyshev de segundo tipo que se indican mediante U_n. Se usa la letra T debido a las transliteraciones alternativas del nombre de Chebyshev como Tchebyshef o Tschebyscheff.
Los polinomios de Chebyshev T_n o U_n son de grado n y la sucesión de los plinomios de de Chebyshev de cualquier tipo compone una sucesión polinómica.
Los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque las raíces de los polinomios de primer tipo, también llamadas nodos de Chebyshev, se usan como nodos en la interpolación polinómica. La interpolación polinómica resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y se acerca al polinomio de mejor aproximación de una función continua bajo la norma uniforme. Esta aproximación lleva directamente al método de la cuadratura de Clenshaw-Curtis.
En el estudio de ecuaciones diferenciales surgen como solución a las ecuaciones diferenciales de Chebyshev

$(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0$

$(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0$

para los polinomios de primer y segundo tipo, respectivamente. Estas ecuaciones son casos especiales de la ecuación diferencial de Sturm-Liouville.

Los polinomios de Chebyshev del primer tipo se definen mediante la relación de recurrencia

$T_0(x) = 1 \,$

$T_1(x) = x \,$

$T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x). \,$

Un ejemplo de función generatriz de T_n es

$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x) t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$

Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo se definen mediante la relación de recurrencia

$U_0(x) = 1 \,$

$U_1(x) = 2x \,$

$U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x). \,$

Un ejemplo de función generatriz de U_n es

$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x) t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2}.$

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