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viernes, 2 de diciembre de 2011

Funcion de Bessel

En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.
Aunque α y − α dan como resultado la misma función, es convenión definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro α son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

Integrales de Bessel

Para valores enteros de n, se tiene la siguiente representación integral:
J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.
Que también se puede escribir como:
J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.
Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definicion dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:
J_\alpha(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt.
También se tiene, para \alpha > -\frac{1}{2}
J_\alpha(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha + \frac{1}{2}) \sqrt{\pi}2^{\alpha-1}} \int_0^x (x^2-\tau^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\cos \tau \, d\tau.      

Relación con los polinomios de Laguerre

Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre Lk para cualquier parámetro t arbitrario como


\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{k+ \alpha \choose k}} \frac{t^k}{k!}.


Solución general de la ecuación de Bessel

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:
\begin{cases} y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BJ_{-\alpha}(x) & \forall\alpha \notin \mathbb{Z} \\ y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BY_{\alpha}(x) & \forall \alpha \in \mathbb{R} \\ y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BJ_{\alpha}(x)\int\cfrac{dx}{xJ_{\alpha}^2(x)} & \forall \alpha \in \mathbb{R} \\ y(x) = AH_{\alpha}^{(1)}(x)+BH_{\alpha}^{(2)}(x) & \forall\alpha \in \mathbb{R} \end{cases}
Donde A y B son dos constantes arbitrarias.
 
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