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viernes, 2 de diciembre de 2011

Funcion Gamma

En matemáticas, la función Gamma (denotada como \scriptstyle \Gamma(z)\,\! ) es una función que extiende el concepto de factorial a los números complejos. La notación fue ideada por Adrien-Marie Legendre. Si la parte real del número complejo z es positivo, entonces la integral
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt
converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a los enteros negativos y al cero.
Si n es un entero positivo, entonces
\Gamma(n) = (n-1)!\,
lo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gamma generaliza el factorial para cualquier valor complejo de n.
La función Gamma aparece en varias funciones de distribución de probabilidad, por lo que es bastante usada tanto en probabilidad y estadística como en combinatoria.

Si la parte real del número complejo z es positiva (Re(z) > 0), entonces la integral
\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,dt \,\!
converge absolutamente. Usando la integración por partes, se obtiene la siguiente propiedad:
\Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z)
Esta ecuación funcional generaliza la relación n! = n(n − 1)! del factorial. Se puede evaluar Γ(1) analíticamente:
\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-t} dt = \lim_{k \rightarrow \infty} \left. -e^{-t} \right |_0^k = -0 - (-1) = 1.
Combinando estas dos relaciones se obtiene que el factorial es un caso especial de la función Gamma:
\Gamma(n+1) = n \, \Gamma(n) = \cdots = n! \, \Gamma(1) = n!\,
para los números naturales n.
La función Gamma es una función meromorfa de z\in\mathbb{C} con polos simples en z = -n\,\,(n = 0,\,1,\,2,\,3,\,\dots) y residuos \operatorname{Res}(\Gamma(z),-n) = \frac{(-1)^{n}}{n!}.1 Estas propiedades pueden ser usadas para extender Γ(z) desde su definición inicial a todo el plano complejo (exceptuando los puntos en los cuales es singular) por continuación analítica.

Obtención de la ecuación funcional usando integración por partes

Obtener Γ(1) es sencillo:
\Gamma(1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{1-1} dx = \int_0^\infty e^{-x} dx = -e^{-\infty} - (-e^0) = 0 - (-1) = 1
Ahora obtendremos una expresión para Γ(n + 1) como una función de Γ(n):
\Gamma(n + 1) = \int_0^\infty e^{-x} x ^{n + 1 - 1} dx = \int_0^\infty e^{-x} x ^n dx
Usamos integración por partes para resolver la integral
\int_0^\infty e^{-x} x ^n dx = \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty + n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx
En el límite inferior se obtiene diréctamente \frac{-0^n}{e^0} = \frac{0}{1} = 0.
En el infinito, usando la regla de L'Hôpital:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-x^n}{e^x} = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{-n! \cdot 0}{e^x} = 0.
Por lo que se anula el primer término, \left[\frac{-x^n}{e^x}\right]_0^\infty , lo que nos da el siguiente resultado:
\Gamma(n + 1) = n \int_0^\infty e^{-x} x ^{n - 1} dx
La parte derecha de la ecuación es exactamente nΓ(n), con lo que hemos obtenido una relación de recurrencia:
Γ(n + 1) = nΓ(n).
Apliquemos la fórmula a unos pocos valores:
\Gamma(2) = \Gamma(1 + 1) = 1\Gamma(1) = 1! = 1\,
\Gamma(3) = \Gamma(2 + 1) = 2\Gamma(2) = 2 \cdot 1! = 2! = 2\,
\Gamma(4) = \Gamma(3 + 1) = 3\Gamma(3) = 3 \cdot 2! = 3! = 6\,
\Gamma(n + 1) = n\Gamma(n) = n\cdot(n-1)! = n!   

 

 

Relación con otras funciones

  • En la representación integral de la función Gamma, tanto el límite superior como el inferior de la integración están fijados. La función gamma incompleta superior γ(a,x) e inferior Γ(a,x) se obtienen modificando los límites de integración superior o inferior respectivamente.
\Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!
\gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt .\,\!
  • La función Gamma está relacionada con la función beta por la siguiente fórmula
\Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x) \; \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}. \,\!
\psi(x) =\psi^0(x) = \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}
\psi^{(n)}(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^n \psi(x) = \left(\frac{d}{dx}\right)^{n+1} \log\Gamma(x)
\zeta(z) = \frac{1}{\Gamma(z)}\int_{0}^{\infty} \frac{u^{z-1}}{e^u - 1} \; \mathrm{d}u \,\!.
Fórmula válida sólo si \operatorname{Re}(z) > 1. También aparece en la ecuación funcional de ζ(z):
\pi^{-z/2} \; \Gamma\left(\frac{z}{2}\right) \zeta(z) = \pi^{-\frac{1-z}{2}} \; \Gamma\left(\frac{1-z}{2}\right) \; \zeta(1-z).
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