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viernes, 2 de diciembre de 2011

Funcion de Bessel

En matemática, las funciones de Bessel, primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y más tarde generalizadas por Friedrich Bessel, son soluciones canónicas y(x) de la ecuación diferencial de Bessel:
x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \alpha^2)y = 0
donde α es un número real o complejo. El caso más común es cuando α es un entero n, aunque la solución para α no enteros es similar. El número α se denomina orden de las funciones de Bessel asociadas a dicha ecuación.
Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial de segundo orden, tiene dos soluciones linealmente independientes.
Aunque α y − α dan como resultado la misma función, es convenión definir diferentes funciones de Bessel para estos dos parámetros, pues las funciones de Bessel en función del parámetro α son funciones suaves casi doquiera. Las funciones de Bessel se denominan también funciones cilíndricas, o armónicos cilíndricos porque son solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas.

Integrales de Bessel

Para valores enteros de n, se tiene la siguiente representación integral:
J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \tau - x \sin \tau) \,\mathrm{d}\tau.
Que también se puede escribir como:
J_n (x) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{-\mathrm{i}\,(n \tau - x \sin \tau)} \,\mathrm{d}\tau.
Esta es la forma usada por Bessel en su estudio de estas funciones, y a partir de esta definicion dedujo varias propiedades de las mismas. Esta definición integral puede extenderse a órdenes no enteros añadiendo otro término integral:
J_\alpha(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos(\alpha\tau- x \sin\tau)\,d\tau - \frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi} \int_0^\infty e^{-x \sinh(t) - \alpha t} \, dt.
También se tiene, para \alpha > -\frac{1}{2}
J_\alpha(x) = \frac{1}{\Gamma(\alpha + \frac{1}{2}) \sqrt{\pi}2^{\alpha-1}} \int_0^x (x^2-\tau^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\cos \tau \, d\tau.      

Relación con los polinomios de Laguerre

Las funciones de Bessel pueden expandirse en serie de polinomios de Laguerre Lk para cualquier parámetro t arbitrario como


\frac{J_\alpha(x)}{\left( \frac{x}{2}\right)^\alpha}= \frac{e^{-t}}{\Gamma(\alpha+1)} \sum_{k=0} \frac{L_k^{(\alpha)}\left( \frac{x^2}{4 t}\right)}{{k+ \alpha \choose k}} \frac{t^k}{k!}.


Solución general de la ecuación de Bessel

La solución general de la ecuación diferencial de Bessel con parámetro α viene dada en términos de las funciones de Bessel ordinarias o de las funciones de Hankel. Dicha solución general puede expresarse como:
\begin{cases} y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BJ_{-\alpha}(x) & \forall\alpha \notin \mathbb{Z} \\ y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BY_{\alpha}(x) & \forall \alpha \in \mathbb{R} \\ y(x) = AJ_{\alpha}(x)+BJ_{\alpha}(x)\int\cfrac{dx}{xJ_{\alpha}^2(x)} & \forall \alpha \in \mathbb{R} \\ y(x) = AH_{\alpha}^{(1)}(x)+BH_{\alpha}^{(2)}(x) & \forall\alpha \in \mathbb{R} \end{cases}
Donde A y B son dos constantes arbitrarias.
 
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Polinomios de Legendre

En matemáticas al resolver la formula de Rodrigues, las Funciones de Legendre son las soluciones a las Ecuaciones Diferenciales de Legendre:
{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] + n(n+1)P(x) = 0.
llamadas así por el matemático francés Adrien-Marie Legendre. Estas ecuaciones se encuentran frecuentemente en Física. En particular, aparecen cuando se resuelve la ecuación de Laplace (un tipo de ecuación en derivadas parciales) en coordenadas esféricas mediante el método de separación de variables.
La ecuación diferencial de Legendre puede resolverse usando el método de serie de potencias. En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Cada polinomio de Legendre Pn(x) es un polinomio de grado n. Éste puede ser expresado usando la Fórmula de Rodrigues:


P_n(x) = {1 \over 2^n n!} {d^n \over dx^n } \left[ (x^2 -1)^n \right].



Desarrollando la fórmula de Rodrigues se obtiene la siguiente expresión para los Polinomios de Legendre
P_n(x) \, = \, \frac{1}{2^n}\sum_{k=0}^{n}{n \choose k}^2(x+1)^{n-k}(x-1)^k
esta expresión es útil en caso de por ejemplo de querer elaborar un programa que grafique los polinomios de Legendre, de ésta expresión es relativamente fácil obtener una para los Polinomios Asociados de Legendre, que aperecen en la práctica en la resolución de problemas como el átomo de hidrógeno por ejemplo.

Una importante propiedad de los polinomios de Legendre es que éstos son ortogonales con respecto al producto escalar definido en L2 en el intervalo −1 ≤ x ≤ 1:
\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x)\,dx = {2 \over {2n + 1}} \delta_{mn}
(donde δmn denota la delta de Kronecker, igual a 1 si m = n y 0 para otros casos). De hecho, una derivación alternativa de los polinomios de Legendre es llevando a cabo procesos de Gram-Schmidt en los polinomiales {1, x, x2,...} con respecto a un producto interno. La razón de esta propiedad de ortogonalidad es que la ecuación diferencial de Legendre puede ser vista como un problema de Sturm-Lioville
{d \over dx} \left[ (1-x^2) {d \over dx} P(x) \right] = -\lambda P(x),
donde los valores propios λ corresponden a n(n+1).

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Polinomios de Laguerre

Los polinomios de Laguerre son una familia de polinomios ortogonales, llamados así en honor de Edmond Laguerre, surgen al examinar las soluciones a la ecuación diferencial:
x\,y'' + (1 - x)\,y' + n\,y = 0\,
Desarrollando y en serie de potencias se obtiene una relación de recurrencia entre coeficientes consecutivos como la que sigue:
a_{k+1} = \frac{k-n}{(k+1)^2}a_k,\ \ k=0,1,2,...; \ \ \ y(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k\,
Puede verse que siempre que n sea natural se anula el coeficiente de toda potencia mayor (y distinta) que n. Esto es, una de las soluciones linealmente independientes es un polinomio de grado n (polinomio de laguerre de orden n, que notaremos por Ln(x)). Para encontrar la otra solución linealmente independiente han de estudiarse las soluciones de la ecuación más general y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0.

El polinomio de Laguerre de orden n puede definirse como sigue:
L_n(x) = (1/(n!))e^x \frac{d^n}{dx^n}(x^ne^{-x})
Que tras desarrollar queda de la forma:
L_n(x) = \sum_{k=0}^n (-1)^n {n \choose k} \frac{n!}{k!} x^k = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!n!}{(n-k)!k!k!} x^k
algunos de estos polinomios son:
n L_n(x)\,
0 1\,
1 -x+1\,
2 (1/2)(x^2-4x+2) \,
3 (1/6)(-x^3+9x^2-18x+6) \,
4 (1/24)(x^4-16x^3+72x^2-96x+24) \,
5 (1/120)(-x^5+25x^4-200x^3+600x^2-600x+120) \,
6 (1/720)(x^6-36x^5+450x^4-2400x^3+5400x^2-4320x+720) \,
Los polinomios de Laguerre también pueden ser definidos mediante la integral:
L_n(x)=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)\,t^{n+1}} \; dt
Integrando en sentido contrario a las agujas del reloj sobre cualquier camino cerrado en torno al origen del plano complejo y contenido en el disco |t| < 1.
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Ecuacion de riccati

La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.
Corresponde a una ecuación de la forma:
\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x)
Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, digamos y_1(x)\,\!.
Conocida dicha solución, se hace el cambio:
y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!
y reemplazando, se obtiene:
\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}
es decir:
-p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)
\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)
lo que equivale a:
\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)
\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2
que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Obsérvese que si se hace el cambio
y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)},
esto nos lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.


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Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

Las ecuaciones diferenciales de Bernoulli son ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, formuladas por Jakob Bernoulli y resueltas por su hermano Johann, que se caracterizan por tener la forma:
\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^\alpha
donde \!P(x) y \!Q(x) son funciones continuas en un intervalo [a,b] \subseteq \mathbb{R} 

Caso general

Si se descuentan los casos particulares en que α=0 y α=1 y se divide la ecuación por yα se obtiene:
\frac{y'}{y^\alpha}+\frac{P(x)}{y^{(\alpha-1)}}=Q(x)
Definiendo:
Z(x):=\frac{1}{y^{(\alpha-1)}}
lleva inmediatamente a las relaciones:
Z'(x)= -\frac{\alpha-1}{y^\alpha}y' \qquad \Rightarrow \frac{y'(x)}{y^\alpha}=-\frac{1}{\alpha-1}Z'(x)
Gracias a esta última relación se puede reescribir como:
\!Z'(x)+ (1-\alpha)\!P(x)\!Z(x)=(1-\alpha)\!Q(x)
Ecuación a la cual se puede aplicar el método de resolución de una ecuación diferencial lineal obteniendo como resultado:
Z(x) = {\frac { \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}{{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}}
Donde C \in \mathbb{R} es una constante arbitraria. Pero como Z = y1-α se tiene que:
{y^{(\alpha-1)}}={\frac {{e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}} \qquad \Rightarrow y(x)={\sqrt [\alpha-1]{\frac {{e^{-(\alpha-1)\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right){e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}} {dx}+C}}}


Finalmente, las funciones que satisfacen la ecuación diferencial pueden calcularse utilizando la expresión:
y(x)={\frac {{e^{-\int \!P \left( x \right) {dx}}}}{\sqrt [\alpha-1]{ \left( 1-\alpha \right) \int \!Q \left( x \right) {e^{ \left( 1-\alpha \right) \int \!P \left( x \right) {dx}}}{dx}+C}}}
Con C \in \mathbb{R}.

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